đạo hàm của quãng đường

- Khi bánh xe quay được một vòng thì xe đi được quãng đường bằng chu vi của bánh xe. Quãng đường mà một vòng đi được là chu vi của vòng tròn: s = C = 2πR = 2. 3,14. 0,3 = 1,884(m). ⇒ Vậy để đi được 1km = 1000m thì bánh xe phải quay số vòng là: (vòng). Gọi hàm số biểu diễn quãng đường di chuyển người A là: S=St (t: phút). Khi đó: Quãng đường người A di chuyển trên đoạn 0,t là St. Quãng đường người A di chuyển trên đoạn 0,t0 là St0. Quãng đường người A di chuyển trên đoạn t0;t là: St- St0. Hàm số nhiều thức bậc chẵn chẳng thể 1-1 điệu bên trên R được. lấy một ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ + 2 (m-1)x² + 3x -2. Tìm m nhằm hàm sẽ mang đến đồng đổi thay trên R. Lời giải: Để y = x³ + 2 (m-1)x² + 3x - 2 đồng biến chuyển bên trên R thì (m-1)² - 3.3 ≤ 0⇔ -3 ≤ m - 1 ≤3 ⇔ -2 ≤ m ≤ 4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. Đạo hàm cấp hai f ''(x) là gia tốc tức thời cảu chuyển động s = f(t) tại thời điểm t. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Nếu tồn tại, f '(x o) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M o (x o; f(x o)). Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm Bài toán tìm vận tốc tức thời Quãng đường / của chuyển động là một hàm số của thời gian / / Giới hạn hữu hạn (nếu có) / Được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm /. u0007 GV chia lớp thành 2 nhóm và hướng dẫn HS tìm hiểu bài toán tìm vận tốc tức thời của chuyển động. H1. dirihosun1971. Đạo hàm có hướng là tốc độ mà tại đó bất kỳ hàm nào thay đổi tại bất kỳ điểm cụ thể nào theo một hướng cố định. Nó là một dạng vectơ của bất kỳ đạo hàm nào. Nó đặc trưng cho tốc độ sửa đổi tức thời của hàm. Nó tổng quát hóa quan điểm của một đạo hàm riêng . Nó có thể được định nghĩa là▽ u f ≡ ▽ f. U / u Đạo hàm hướng Trong bài này, chúng ta sẽ hiểu chi tiết khái niệm đạo hàm có hướng. Chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa, công thức, gradient và các thuộc tính của nó. Chúng ta sẽ đi trước và tìm hiểu về khái niệm đạo hàm thông thường. Chúng ta cũng sẽ thảo luận về một vài ví dụ đã giải về tính đạo hàm có hướng. Định nghĩa Đạo hàm Hướng Đối với một hàm vô hướng f x = f x 1 , x 2 ,…, x n , đạo hàm có hướng được xác định là một hàm ở dạng sau; ▽ u f = lim h → 0 [f x + hv -f x] / h Trong đó v là vectơ mà đạo hàm có hướng của f x được xác định. Đôi khi, v bị giới hạn trong một vectơ đơn vị , nhưng nếu không, định nghĩa cũng được giữ nguyên. Vectơ v được cho bởi; v = v 1 , v 2 , v 3 ,…, v n Ngoài ra, hãy đọc Các dẫn xuất Giới hạn và phái sinh Lớp 11 Câu hỏi quan trọng Toán lớp 11 Chương 13 Đạo hàm Giới hạn Ứng dụng của các dẫn xuất cho lớp 12 Các thuộc tính của Đạo hàm hướng Các tính chất cơ bản liên quan đến đạo hàm có hướng được thảo luận dưới đây. Giả sử hai hàm f và g bất kỳ được xác định trong vùng lân cận của điểm a’ và khả vi tại a’. Quy tắc cho hệ số không đổi Gọi k là hằng số, thì; ▽ v kf = k ▽ v f Quy tắc tính tổng Tổng là phân phối. ▽ v f + g = ▽ v f + ▽ v g Quy tắc cho sản phẩm Đây còn được gọi là quy tắc của Leibniz . ▽ v fg = g ▽ v f + f ▽ v g Quy tắc chuỗi Nó áp dụng khi f khả vi tại a’ và g phân biệt được tại f a. Trong trường hợp này, ▽ v sương mù a = f ′ g a ▽ v g a Công thức Đạo hàm có hướng được xác định là n. ▽ f. Ở đây, n được coi là một vector đơn vị. Đạo hàm có hướng được định nghĩa là tốc độ thay đổi dọc theo đường đi của vectơ đơn vị là u = a, b. Đạo hàm có hướng được ký hiệu là Du f x, y có thể được viết như sau D u f x, y = lim h → 0 [f x + ah, y + bh -f x, y] / h Vấn đề ví dụ Tìm đạo hàm có hướng của hàm số f x, y = xyz theo hướng 3i – 4k. Nó có các điểm là 1, -1,1. Lời giải Cho hàm số là f x, y = xyz Trường vectơ là 3i – 4k. Nó có độ lớn là √ [3 2 + - 4 2 = √25 = √5 Vectơ đơn vị n theo hướng 3i – 4k do đó n = 1/5 3i – 4k Bây giờ, chúng ta phải tìm gradient ▽ f để tìm đạo hàm có hướng. Do đó, ▽ f = yzi + xzj + xyk Bây giờ, đạo hàm có hướng là; n. ▽ f = 1/5 3i − 4k. yzi + xzj + xyk = 1/5 [3 × yz + 0 – 4 × xy] Đạo hàm có hướng tại điểm 1, -1,1 là; n. ▽ f = 1/5 [3 × −1 × 1 −4 × 1 × −1] n. ▽ f = ⅕ Gradient phái sinh hướng Vì chúng ta biết rằng gradient được xác định cho hàm f x, y là; ▽ f = ▽ f x, y = f / xi + f / yj Điều này có thể được tính bằng cách gán toán tử vectơ r cho f x, y là một hàm vô hướng. Trường vectơ đó được gọi là trường vectơ gradient. Nếu ta có một hàm f x, y, z và u u1, u2, u3 là vectơ đơn vị thì; D u f = ▽ fu = f / xu 1 + f / yu 2 + f / zu 3 Rõ ràng rằng, nếu chúng ta lấy một tích số chấm của gradient và vectơ đơn vị đã cho, thì chúng ta sẽ nhận được đạo hàm có hướng của hàm số. Ví dụ Tìm gradient của hàm f x, y = x + y. Lời giải Cho hàm số là f x, y = x + y ▽ f = ▽ f x, y = f / x i + f / y j ▽ f = [ x + y / x] i + [ x + y / y] j ▽ f = 1 + 0 i + 0 + 1 j ▽ f = i + j Do đó, gradient của hàm f x, y = x + y là i + j. Xem thêm Lập trình tuyến tính cho lớp 12 là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn. Sự khác biệt giữa tính chất chuyên sâu và mở rộng dễ hiểu Sự khác biệt giữa sợi tự nhiên và tổng hợp chuẩn nhất Với bài toán chuyển động giả sử vận tốc tức thời của vật là $vleft t right$ thì $vleft t right=s’left t right$Có thể bạn quan tâm 7 có nên trang điểm bằng cách lạm dụng kem phấn hot nhất 4 anime tình cảm học đường tốt nhất 4 phát xít nhật vào đông dương khi nào hay nhất 6 quần màu xanh dương kết hợp với áo màu gì hot nhất, đừng bỏ lỡ 7 định luật murphy hot nhất Gia tốc tức thời của vật $aleft t right=v’left t right=s”left t right$Bạn Đang Xem Tại sao đạo hàm của quãng đường là vận tốc Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm ${{t}_{1}}$ đến ${{t}_{2}}$ là $S=intlimits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{vleft t rightdt.}$ Vận tốc tức thời của vật $vleft t right=int{aleft t rightdt}$ Ví dụ 1 Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $vleft t right=-4t+20$ m/s trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 25 m. B. 50 m. C. 10 m. D. 30 m. Lời giải Khi vật dừng hẳn thì $v=0Rightarrow -4t+20=0Leftrightarrow t=5left s right.$ Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là $Sleft t right=intlimits_{0}^{5}{vleft t rightdt=intlimits_{0}^{5}{left -4t+20 rightdt=50}}$m. Chọn A. Ví dụ 2 Một ô tô xuất phát với vận tốc ${{v}_{1}}left t right=2t+12,,left m/s right,$ sau khi đi được khoảng thời gian ${{t}_{1}}$ thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc ${{v}_{2}}left t right=24-6tleft m/s right,$ và đi thêm một khoảng thời gian ${{t}_{2}}$ nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét ? A. $12text{ }m.$ B. $156text{ }m.$ C. $108text{ }m.$ D. $48text{ }m.$ Lời giải Ta có ${{v}_{02}}=24,,left m/s right$ do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là $24,,m/s$ Khi đó ${{v}_{1}}left t right=2t+12=24Leftrightarrow t=6,,left s right$ Vật dừng lại khi ${{v}_{2}}left t right=24-6t=0Leftrightarrow {{t}_{2}}=4,,left s right$ Quãng đường vật đi được là $s=intlimits_{0}^{6}{{{v}_{1}}left t rightdt}+intlimits_{0}^{4}{{{v}_{2}}left t rightdt=intlimits_{0}^{6}{left 2t+12 rightdt}+intlimits_{0}^{4}{left 24-6t rightdt}}=156text{ }m.$ Chọn B. Ví dụ 3 Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc ${{v}_{0}}=16,,left m/s right$ thì tăng tốc với gia tốc $aleft t right={{t}^{2}}+3t,,left m/{{s}^{2}} right.$ Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian $4s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. $frac{160}{3},,left m right.$ B. $frac{352}{3},,left m right.$ C. $frac{400}{3},,left m right.$ D. $frac{250}{3},,left m right.$ Lời giải Ta có $vleft t right=int{aleft t rightdt=int{left {{t}^{2}}+3t rightdt=frac{{{t}^{3}}}{3}}+frac{3{{t}^{2}}}{2}}+C$ Khi đó ${{v}_{0}}=vleft 0 right=C=16Rightarrow vleft t right=frac{{{t}^{3}}}{3}+frac{3{{t}^{2}}}{2}+16$ Khi đó quãng đường đi được bằng $sleft t right=intlimits_{0}^{4}{vleft t rightdt=intlimits_{0}^{4}{left frac{{{t}^{3}}}{3}+frac{3{{t}^{2}}}{2}+16 rightdt}}$ $left. left frac{{{t}^{4}}}{12}+frac{{{t}^{3}}}{2}+16t right right_{0}^{4}=frac{352}{3},,left m right.$ Chọn B. Ví dụ 4 Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${{v}_{1}}left t right=2t,,left m/s right.$ Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-12,,left m/{{s}^{2}} right.$ Tính quãng đường $sleft m right$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn A. $s=168,,m.$ B. $s=166,,m.$ C. $s=144,,m.$ D. $s=152,,m.$ Lời giải Xem Thêm Tham vọng lớn nhất của mỹ khi triển khai chiến lược toàn cầu sau Chiến tranh thế giới thứ hai làQuãng đường xe đi được trong 12 s đầu là ${{s}_{1}}=intlimits_{0}^{12}{2tdt=144text{ }m.}$ Sau khi đi được 12 s vật đạt vận tốc $v=24,,m/s,$ sau đó vận tốc của vật có phương trình $v=24-12t$ Vật dừng hẳn sau $2text{ }s$ kể từ khi phanh. Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là ${{s}_{2}}=intlimits_{0}^{2}{left 24-12t rightdt=24text{ }m.}$ Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}=144+24=168text{ }m.$ Chọn A. Ví dụ 5 Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang chiều dương hướng sang phải với gia tốc phụ thuộc thời gian $tleft s right$ là $aleft t right=2t-7,left m/{{s}^{2}} right.$ Biết vận tốc ban đầu bằng $10,,left m/s right,$ hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải? A. $5,,left s right.$ B. $6,,left s right.$ C. $1,,left s right.$ D. $2,,left s right.$ Lời giải Vận tốc của vật được tính theo công thức $vleft t right=10+{{t}^{2}}-7t,,left m/s right.$ Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức $Sleft t right=int{vleft t rightdt=frac{{{t}^{3}}}{3}-frac{7}{2}{{t}^{2}}+10t,,left m right.}$ Ta có ${S}’left t right={{t}^{2}}-7t+10Rightarrow {S}’left t right=0Leftrightarrow {{t}^{2}}-7t+10=0Leftrightarrow left[ begin{align} & t=2 \ & t=5 \ end{align} right..$ Suy ra $left{ begin{align} & Sleft 0 right=0 \ & Sleft 2 right=frac{26}{6} \ & Sleft 5 right=frac{25}{6} \ & Sleft 6 right=6 \ end{align} underset{left[ 0;6 right]}{mathop{Max}},Sleft t right=Sleft 2 right=frac{26}{3}.$ Chọn D. Ví dụ 6 [Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh 2017] Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 mét so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật $vleft t right=10t-{{t}^{2}},$ trong đó $t$ phút là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, $vleft t right$ được tính theo đơn vị mét/phút m/p. Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc $v$ của khí cầu là A. $v=7,,left m/p right.$ B. $v=9,,left m/p right.$ C. $v=5,,left m/p right.$ D. $v=3,,left m/p right.$ Lời giải Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường là $s=162,,m$ Ta có $S=intlimits_{0}^{{{t}_{0}}}{left 10t-{{t}^{2}} rightdt=left. left 5t-frac{{{t}^{3}}}{3} right right_{0}^{{{t}_{0}}}=5t_{0}^{2}-frac{t_{0}^{3}}{3}}$ trong đó ${{t}_{0}}$ là thời điểm vật tiếp đất Cho $5t_{0}^{2}-frac{t_{0}^{3}}{3}=162Rightarrow {{t}_{0}}=9$ Do $vleft t right=10t-{{t}^{2}}Rightarrow 0le tle 10$ Khi đó vận tốc của vật là $vleft 9 right= }left m/p right.$ Chọn B. Ví dụ 7 [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $vleft t right=frac{1}{100}{{t}^{2}}+frac{13}{30}t,,left m/s right,$ trong đó $t$ giây là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn 10 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a,,left m/{{s}^{2}} right$ $a$ là hằng số. Sau khi $B$ xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp $A.$ Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng A. $25,,left m/s right.$ B. $15,,left m/s right.$ C. $9,,left m/s right.$ D. $42,,left m/s right.$ Lời giải Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là $S=intlimits_{0}^{25}{left frac{1}{100}{{t}^{2}}+frac{13}{30}t rightdt=frac{375}{2},,m.}$ Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm $tleft s right$ tính từ lúc B xuất phát là ${{v}_{B}}left t right=at.$ Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là [S=intlimits_{0}^{10}{atdt}=left. frac{a{{t}^{2}}}{2} right_{0}^{10}=frac{225}{2}aleft m right.] Suy ra $frac{225}{2}a=frac{375}{2}Leftrightarrow a=frac{5}{3}$ Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là ${{v}_{B}}left 15 right=15a=25,,left m/s right.$ Chọn A. Xem Thêm 6 nhẫn kim tiền 18k giá bao nhiều hot nhất, bạn nên biếtVí dụ 8 [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $vleft t right=frac{1}{180}{{t}^{2}}+frac{11}{18}t$ m/s, trong đó $t$ giây là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng cùng hướng với $A$, nhưng chậm hơn 5 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $aleft m/{{s}^{2}} right$ $a$ là hằng số. Sau khi $B$ xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp $A.$ Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng A. $22$m/s. B. 15 m/s. C. 10 m/s. D. 7 m/s. Lời giải Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là $S=intlimits_{0}^{15}{left frac{1}{180}{{t}^{2}}+frac{11}{8}t rightdt=75,,m.}$ Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm $tleft s right$ tính từ lúc B xuất phát là ${{v}_{B}}left t right=at.$ Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là [S=intlimits_{0}^{10}{atdt}=left. frac{a{{t}^{2}}}{2} right_{0}^{10}=50a,,left m right.] Suy ra $50a=75Leftrightarrow a=1,5$ Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là ${{v}_{B}}left 10 right=10a=15,,left m/s right.$ Chọn B. Ví dụ 9 Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc $vleft km/h right$ phụ thuộc thời gian $tleft h right$ có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $Ileft 2;9 right$ với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó? A. $s=27,,left km right.$ B. $s=24,,left km right.$ C. $s=28,5,,left km right.$ D. $s=26,5,,left km right.$ Lời giải Dựa vào đồ thị ta tính được phương trình vận tốc của vật Từ 0 đến 3 giây ${{v}_{1}}left t right=-frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t,,left km/h right.$ Từ 3 giây trở đi ${{v}_{2}}left t right=frac{27}{4},,left km/h right.$ Suy ra quãng đường vật đi được trong 4 giây sẽ bằng $s=intlimits_{0}^{3}{left -frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t rightdt}+intlimits_{3}^{4}{frac{27}{4}dt=27,,left km right.}$ Chọn A. Ví dụ 10 [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc $vleft km/h right$ phụ thuộc thời gian $tleft h right$ có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh $Ileft frac{1}{2};8 right$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường $s$ người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. A. $s=4,0,,left km right.$ B. $s=2,3,,left km right.$ C. $s=4,5,,left km right.$ D. $s=5,3,,left km right.$ Lời giải Dựa vào đồ thị ta tính được PT vận tốc là $vleft t right=a{{left x-frac{1}{2} right}^{2}}+8$ Do parabol $left P right$ qua điểm $left 1;0 rightRightarrow a=-32Rightarrow vleft t right=-32{{t}^{2}}+32t,,left km/h right.$ Suy ra quãng đường đi được trong 45 phút bằng $0,75,,left h right$ là $S=intlimits_{0}^{0,75}{left -32{{t}^{2}}+32t rightdt=4,5,,left km right.}$ Chọn C. A. Lý ThuyếtI. Các khái niệm cơ bản về chuyển động1 Cơ học, động học+ Cơ học ngành vật lý nghiên cứu về chuyển động của các vật thể.+ Động học ngành vật lý nghiên cứu các tính chất, quy luật chuyển động mà không tính tới nguyên nhân của chuyển động Chuyển động, chất điểm+ Chuyển động cơ học chuyển động là sự thay đổi vị trí của các vật thể.+ Chất điểm là vật thể có kích thước không đáng kể so với những kích thước, khoảng cách mà ta ý Khái niệm chuyển động, chất điểm có tính tương Quỹ đạo, quãng đường và độ dời+ Quỹ đạo là tập hợp các vị trí của chất điểm trong quá trình chuyển động.+ Quãng đường là độ dài của vết mà chất điểm vạch ra trong thời gian khảo sát chuyển động.+ Độ dời là vectơ nối từ vị trí đầu đến vị trí Hệ quy chiếuLà hệ thống gồm một vật mốc, hệ tọa độ gắn với vật mốc đó và đồng hồ đo thời gian, dùng để xác định vị trí của các vật tọa độ Descartes Oxyz\ \vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} \\ \vec{r}=\left x,y,z \right \ hay \ M\left x,y,z \right \5 Phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo+ Phương trình chuyển động \ \left\{ \begin{align}& x=ft \\ & y=gt \\ & z=ht \\ \end{align} \right. \ cho biết vị trí ở thời gian t+ Khử t, ta được phương trình quỹ đạo \ \left\{ \begin{align}& Fx,y,z=0 \\ & Gx,y,z=0 \\\end{align} \right. \ cho biết hình dạng quỹ đạoNhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,... Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7 Dạy kèm Vật Lý Đại Cương Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được! Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!II. Tốc độ và vận tốc1 Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình+ Tốc độ trung bình \ {{v}_{s}}={{v}_{tb}}=\bar{v}=\frac{s}{t} \\ {{v}_{s}}=\frac{s}{t}=\frac{{{s}_{1}}+{{s}_{2}}+…+{{s}_{n}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+…+{{t}_{n}}} \+ Vận tốc trung bình \ {{\vec{v}}_{tb}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}}}{t-{{t}_{0}}} \2 Tốc độ tức thời và vận tốc tức thời+ Tốc độ tức thời\ {{v}_{s}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{s}{t}=\frac{ds}{dt}=s’ \+ Vận tốc tức thời \ \vec{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\left {\vec{r}} \right’ \⊗ Đặc điểm tức thời và vận tốc tức thời• Phương tiếp tuyến với quỹ đạo• Chiều theo chiều chuyển động• Độ lớn đạo hàm của quãng đường \ v=\left {\vec{v}} \right={{v}_{s}}=s’ \• Điểm đặt tại điểm khảo sát3 Ý nghĩa của tốc độ và vận tốc+ Tốc độ là đại lượng vô hướng, không âm, đặc trưng cho tính nhanh, chậm chuyển động.+ Vận tốc là đại lượng vectơ. Vận tốc tức thời đặc trưng cho phương, chiều và độ nhanh chậm của chuyển động.+ Độ lớn của vận tốc tức thời chính là tốc độ tức thời4 Biểu thức giải tích của vectơ vận tốc+ Trong hệ tọa độ Descartes \ \vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} \\ \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}={{v}_{x}}.\overrightarrow{i}+{{v}_{y}}.\overrightarrow{j}+{{v}_{z}}.\overrightarrow{k}=\left {{v}_{x}},{{v}_{y}},{{v}_{z}} \right \Trong đó \ \left\{ \begin{align}& {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=x’ \\ & {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=y’ \\ & {{v}_{z}}=\frac{dz}{dt}=z’ \\\end{align} \right. \+ Do đó \ v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}} \5 Tính quãng đườngTổng quát \ S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{vdx} \với \ v=\left {\vec{v}} \right \Nếu v = const thì \ s=v\left {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right= \.Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,... Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7 Dạy kèm Vật Lý Đại Cương Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được! Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!III. Gia tốc1 Định nghĩaGia tốc là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc, đo bằng độ biến thiên của vận tốc trong một đơn vị thời gian.+ Gia tốc trung bình \ {{\vec{a}}_{tb}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v}-{{{\vec{v}}}_{O}}}{t-{{t}_{O}}} \+ Gia tốc tức thời \ \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\left {\vec{v}} \right’ \+ Ý nghĩa gia tốc Đặc trưng cho sự biến thiên nhanh hay chậm của vectơ vận tốc. \ \vec{r} \overset{\text{Đạo Hàm}}{\underset{\text{Nguyên Hàm}}{\rightleftharpoons}} \vec{v} \overset{\text{Đạo Hàm}}{\underset{\text{Nguyên Hàm}}{\rightleftharpoons}}\vec{a} \2 Biểu thức giải tích của vectơ gia tốcTrong hệ tọa độ Descartes, ta có \ \vec{a}={{a}_{x}}.\overrightarrow{i}+{{a}_{y}}.\overrightarrow{j}+{{a}_{z}}.\overrightarrow{k}=\left {{a}_{x}},{{a}_{y}},{{a}_{z}} \right \Với \ \left\{ \begin{align}& {{a}_{x}}=\frac{d{{v}_{x}}}{dt}=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=x” \\& {{a}_{y}}=\frac{d{{v}_{y}}}{dt}=\frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}=y” \\& {{a}_{z}}=\frac{d{{v}_{z}}}{dt}=\frac{{{d}^{2}}z}{d{{t}^{2}}}=z” \\\end{align} \right. \Suy ra, độ lớn của vectơ gia tốc \ a=\left {\vec{a}} \right=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \.3 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến+ Trong chuyển động cong, vectơ gia tốc \ \vec{a} \ được phân tích thành hai thành phần vuông góc nhau thành [hần tiếp tuyến \ {{\vec{a}}_{t}} \ và thành phần pháp tuyến \ {{\vec{a}}_{n}} \.+ Do đó \ \vec{a}={{\vec{a}}_{t}}+{{\vec{a}}_{n}} \, trong đó \ \left\{ \begin{align}& {{a}_{t}}=\frac{dv}{dt} \\& {{a}_{n}}=\frac{{{v}^{2}}}{R} \\\end{align} \right. \, với R là bán kính chính khúc của quỹ đạoVà có độ lớn \ a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}} \. Ý nghĩaGia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của vectơ vận tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vectơ vận gia tốc toàn phần luôn hướng về bề lõm của quỹ đạo.⊕ Trường hợp đặc biệt \ {{a}_{n}}=0 \ Chuyển động thẳng \ {{a}_{t}}=0 \ Chuyển động đều \ {{a}_{n}}=0 \ và \ {{a}_{t}}=0 \ Chuyển động thẳng đều. \ {{a}_{n}}=0 \ và \ {{a}_{t}}=const \ Chuyển động thẳng biến đổi đều. \ {{a}_{n}}=const \ và \ {{a}_{t}}=0 \ Chuyển động tròn đều. \ {{\vec{a}}_{t}}\uparrow \uparrow \vec{v} \ Chuyển động nhanh dần. \ {{\vec{a}}_{t}}\uparrow \downarrow \vec{v} \ Chuyển động chậm Bài tập có hướng dẫn giảiCâu 1. Trong mặt phẳng Oxy, chất điểm chuyển động với phương trình \ \left\{ \begin{align}& x=5-10\sin 2\pi t \\ & y=4+10\sin 2\pi t \\ \end{align} \right.\begin{matrix}{} & SI\\\end{matrix}\a Xác định vị trí của chất điểm lúc t = Xác định quỹ Xác định vectơ vận tốc lúc t = Tính quãng đường vật đi từ lúc t = 0 đến t = 5s. Suy ra tốc độ trung bình trên quãng đường dẫn giảia Lúc t = 5s, chất điểm ở tọa độ \ \left\{ \begin{align}& x=5-10\sin \left 2\pi .5 \right=5 \\& y=4+10\sin \left 2\pi .5 \right=4 \\\end{align}\right. \b Cộng hai vế phương trình để khử t, ta được phương trình quỹ đạo là đường thẳng \ x+y=9 \c Ta có \ \left\{ \begin{align}& {{v}_{x}}=x’=-20\pi \cos \left 2\pi t \right \\& {{v}_{y}}=y’=20\pi \cos \left 2\pi t \right \\\end{align} \right.\text{ }\left SI \right \\ \Rightarrow v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{{{\left[ -20\pi \cos \left 2\pi t \right \right]}^{2}}+{{\left[ 20\pi \cos \left 2\pi t \right \right]}^{2}}}=20\pi \sqrt{2}\left \cos \left 2\pi t \right \right \Lúc t = 5s, thì \ v=20\pi \sqrt{2}\left \cos \left 2\pi .5 \right \right=20\pi \sqrt{2}\text{ }m/s \d Quãng đường \ s=\int\limits_{0}^{5}{vdt}=\int\limits_{0}^{5}{20\pi \sqrt{2}\left \cos \left 2\pi t \right \rightdt}\approx 283\text{ }m \Suy ra, tốc độ trung bình \ \bar{v}=\frac{s}{t}=\frac{283}{5}=56,6\text{ }m/s \Câu 2. Xác định phương trình quỹ đạo, biết phương trình chuyển động của chất điểm có dạnga\ \left\{ \begin{align}& x=1-t \\& y=t-1 \\\end{align} \right. \b\ \left\{ \begin{align}& x=A\left 1-\sin t \right \\& y=A\left 1-\cos t \right \\\end{align} \right. \c\ \left\{ \begin{align}& x=A+R\cos \omega t \\& y=R\sin \omega t \\\end{align} \right. \Trong đó A và R là các hằng số dẫn giảia Cộng hai vế phương trình để khử t, ta được phương trình quỹ đạo có dạng là đường thẳng \ x+y=0 \b Ta có \ \left\{ \begin{align}& \frac{x}{A}=1-\sin t \\ & \frac{y}{A}=1-\cos t \\ \end{align} \right. \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{x}{A}-1=-\sin t \\& \frac{y}{A}-1=-\cos t \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left \frac{x}{A}-1 \right}^{2}}={{\sin }^{2}}t \\& {{\left \frac{y}{A}-1 \right}^{2}}={{\cos }^{2}}t \\\end{align} \right. \\ \Rightarrow {{\left \frac{x}{A}-1 \right}^{2}}+{{\left \frac{y}{A}-1 \right}^{2}}={{\sin }^{2}}t+{{\cos }^{2}}t=1 \\ \Leftrightarrow {{\left \frac{x-A}{A} \right}^{2}}+{{\left \frac{y-A}{A} \right}^{2}}=1 \\ \Leftrightarrow {{\left x-A \right}^{2}}+{{\left y-A \right}^{2}}={{A}^{2}} \Quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn tâm A; A và có bán kính Ta có \ \left\{ \begin{align}& x=A+R\cos \omega t \\& y=R\sin \omega t \\\end{align} \right. \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x-A=R\cos \omega t \\& y=R\sin \omega t \\\end{align} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left x-A \right}^{2}}={{R}^{2}}{{\cos }^{2}}\omega t \\& {{y}^{2}}={{R}^{2}}{{\sin }^{2}}\omega t \\\end{align} \right. \\ \Rightarrow {{\left x-A \right}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}{{\cos }^{2}}\omega t+{{R}^{2}}{{\sin }^{2}}\omega t={{R}^{2}}\left {{\cos }^{2}}\omega t+{{\sin }^{2}}\omega t \right \\ \Leftrightarrow {{\left x-A \right}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}} \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn tâm A;0 và có bán kính 3. Phương trình chuyển động của một chất điểm trong hệ trục tọa độ Descartes\ x={{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{1}} \right\text{ } \\ y={{a}_{2}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right\text{ } \Xác định đạng quỹ đạo của chất điểm trong các trường hợp saua \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=2k\pi \b \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left 2k+1 \right\pi \c \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left 2k+1 \right\frac{\pi }{2} \d \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \ có giá trị bất kìHướng dẫn giảia Ta có \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=k2\pi \Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+k2\pi \ \ \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}}+k2\pi \right={{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\frac{y}{{{a}_{2}}}\Leftrightarrow y=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \Vì \ -1\le \cos \left \omega t+{{\varphi }_{1}} \right\le 1 \ nên \ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \Vậy chất điểm chuyển động trên một đoạn thẳng biểu diễn bởi \ y=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \ với \ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \b Ta có \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left 2k+1 \right\pi \Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+\left 2k+1 \right\pi \ \ \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}}+\left 2k+1 \right\pi \right=-{{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=-\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}+\frac{y}{{{a}_{2}}}=0\Leftrightarrow y=-\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \ với \ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \Vậy chất điểm chuyển động trên một đoạn thẳng biểu diễn bởi \ y=-\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \ với \ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \.c Ta có \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left 2k+1 \right\frac{\pi }{2}\Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+\left 2k+1 \right\frac{\pi }{2} \ \ \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}}+\left 2k+1 \right\frac{\pi }{2} \right=\pm {{a}_{1}}\sin \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\pm \sin \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow {{\left \frac{x}{{{a}_{1}}} \right}^{2}}+{{\left \frac{y}{{{a}_{2}}} \right}^{2}}={{\cos }^{2}}\left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right+{{\sin }^{2}}\left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ với \ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \ \ \Leftrightarrow {{\left \frac{x}{{{a}_{1}}} \right}^{2}}+{{\left \frac{y}{{{a}_{2}}} \right}^{2}}=1 \Vậy chất điểm chuyển động trên một đường elip có dạng \ {{\left \frac{x}{{{a}_{1}}} \right}^{2}}+{{\left \frac{y}{{{a}_{2}}} \right}^{2}}=1 \.d Ta có \ x={{a}_{1}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}}\text{ }1 \ \ y={{a}_{2}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}}\text{ }2 \Nhân 1 với \ \cos {{\varphi }_{2}} \ và 2 với \ -\cos {{\varphi }_{1}} \rồi cộng vế với vế \ 1\Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}=\cos {{\varphi }_{2}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right\begin{matrix}{} & 3 \\\end{matrix} \ \ 2\Rightarrow -\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=-\cos {{\varphi }_{1}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right\begin{matrix}{} & 4 \\\end{matrix} \ \ 3+4\Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\cos {{\varphi }_{2}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right-\cos {{\varphi }_{1}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right \ \ \Leftrightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}}\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}}\cos {{\varphi }_{2}} \ \ \Leftrightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\sin \omega t.\sin \left {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right\begin{matrix}{} & 5 \\\end{matrix} \Lại nhân 1 với \ \sin {{\varphi }_{2}} \ và 2 với \ -\sin {{\varphi }_{1}} \ rồi cộng vế với vế \ \frac{x}{{{a}_{1}}}\sin {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\sin {{\varphi }_{1}}=\cos \omega t.\sin \left {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right\begin{matrix} {} & 6 \\\end{matrix} \Bình phương 5 và 6 rồi cộng vế với vế \ \frac{{{x}^{2}}}{a_{1}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{a_{2}^{2}}-\frac{2xy}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}\cos \left {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right={{\sin }^{2}}\left {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right\begin{matrix}{} & 7 \\\end{matrix} \Phương trình 7 biểu diễn một đường xét Có thể thu được các kết luận của phần a, b, c bằng cách thay \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \ bằng các giá trị tương ứng đã cho vào 7.Câu 4. Xác định quỹ đạo của chất điểm chuyển động với phương trình chuyển động sau đâya \ \left\{ \begin{align}& x=-t \\& y=2{{t}^{2}} \\& z=0 \\\end{align} \right. \b \ \left\{ \begin{align}& x=\cos t \\& y=2\cos 2t \\& z=0 \\\end{align} \right. \c \ \left\{ \begin{align}& x=2\sin t \\& y=0 \\& z=-2\cos t \\\end{align} \right. \d \ \left\{ \begin{align}& x=0 \\& y=3{{e}^{-2t}} \\& z=4{{e}^{2t}} \\\end{align} \right. \Hướng dẫn giảia \ \left\{ \begin{align}& x=-t \\& y=2{{t}^{2}} \\& z=0 \\\end{align} \right. \Ta có \ x=-t\Rightarrow {{x}^{2}}={{t}^{2}}\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}=-2{{t}^{2}} \ \ \Rightarrow -2{{x}^{2}}+y+z=0\Rightarrow y=2{{x}^{2}} \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một Parabol \ y=2{{x}^{2}} \b \ \left\{ \begin{align}& x=\cos t \\& y=2\cos 2t \\& z=0 \\\end{align} \right. \Tac có \ \cos 2t=2{{\cos }^{2}}t-1=2{{x}^{2}}-1\Rightarrow -2\cos 2t=-2{{x}^{2}}+1 \ \ -2{{x}^{2}}+1+y=0\Rightarrow y=2{{x}^{2}}-1 \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một Parabol \ y=2{{x}^{2}}-1 \c \ \left\{ \begin{align}& x=2\sin t \\& y=0 \\& z=-2\cos t \\\end{align} \right. \Ta có \ \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}=4{{\sin }^{2}}t \\& {{z}^{2}}=4{{\cos }^{2}}t \\\end{align} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}+{{z}^{2}}=4\left {{\sin }^{2}}t+{{\cos }^{2}}t \right=4 \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn \ {{x}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \d \ \left\{ \begin{align}& x=0 \\& y=3{{e}^{-2t}} \\& z=4{{e}^{2t}} \\\end{align} \right. \Ta có \ \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một hyperbol \ \Câu 5. Xác định quỹ đạo của chất điểm chuyển động với phương trình chuyển động sau đâya \ \left\{ \begin{align}& x=-sin2t \\& y=2 \\& z=2\sin 2t+1 \\\end{align} \right. \b \ \left\{ \begin{align}& x=-3 \\& y=\sin t \\& z=2\cos t \\\end{align} \right. \c \ \left\{ \begin{align}& x=\cos \omega t \\& y=b\cos \left \omega t+\varphi \right \\& z=-2 \\\end{align} \right. \Hướng dẫn giảia \ \left\{ \begin{align}& x=-sin2t \\& y=2 \\& z=2\sin 2t+1 \\\end{align} \right. \Ta có \ 2x=-2\sin 2t\Rightarrow 2x+z-1=0\Rightarrow z=-2x+1 \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một đường thẳng \ z=-2x+1 \b \ \left\{ \begin{align}& x=-3 \\& y=\sin t \\& z=2\cos t \\\end{align} \right. \Ta có \ \left\{ \begin{align}& {{y}^{2}}={{\sin }^{2}}t \\& \frac{{{z}^{2}}}{4}={{\cos }^{2}}t \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{{{y}^{2}}}{1}+\frac{{{z}^{2}}}{4}=1 \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một elip \ \frac{{{y}^{2}}}{1}+\frac{{{z}^{2}}}{4}=1 \c \ \left\{ \begin{align}& x=a\cos \omega t \\& y=b\cos \left \omega t+\varphi \right \\& z=-2 \\\end{align} \right. \Ta có \ \left\{ \begin{align}& \frac{x}{a}=\cos \omega t \\& \frac{y}{b}=\cos \left \omega t+\varphi \right=\cos \omega t.\cos \varphi -\sin \omega t.\sin \varphi \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{x}{a}=\cos \omega t \\& \frac{y}{b}=\frac{x}{a}.\cos \varphi -\sin \omega t.\sin \varphi \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left \frac{x}{a} \right}^{2}}={{\cos }^{2}}\omega t \\& \frac{y}{b}-\frac{x}{a}.\cos \varphi =-\sin \omega t.\sin \varphi \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left \frac{x}{a} \right}^{2}}={{\cos }^{2}}\omega t \\& \frac{y}{b.\sin \varphi }-\frac{x}{a.\sin \varphi }.\cos \varphi =-\sin \omega t \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left \frac{x}{a} \right}^{2}}={{\cos }^{2}}\omega t \\& {{\left \frac{y}{b.\sin \varphi }-\frac{x}{a.\sin \varphi }.\cos \varphi \right}^{2}}={{\sin }^{2}}\omega t \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow {{\left \frac{x}{a} \right}^{2}}+{{\left \frac{y}{b.\sin \varphi }-\frac{x}{a.\sin \varphi }.\cos \varphi \right}^{2}}=1 \ \ \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{2xy}{ab}\cos \varphi ={{\sin }^{2}}\varphi \Vậy có thể thu được kết quả là elip, đường thẳng, vòng tròn tùy theo trị số của \ a,b,\varphi \.Câu 6. Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình \ \left\{ \begin{align}& x=3{{t}^{2}}-\frac{4}{3}{{t}^{2}} \\& y=8t \\\end{align} \right.\begin{matrix}{} & SI \\\end{matrix} \a Xác định vectơ gia tốc tại thời điểm t = Có thời điểm nào gia tốc triệt hay không?Hướng dẫn giảiTa có \ \left\{ \begin{align}& {{a}_{x}}=x”=6-8t \\& {{a}_{y}}=y”=0 \\\end{align} \right.\Rightarrow a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\left 6-8t \right \a Lúc t = 3s thì \ \vec{a}=\left -18;0 \right \ và độ lớn \ a=18\text{ }m/{{s}^{2}} \.b Để gia tốc triệt tiêu thì \ a=0\Leftrightarrow 6-8t=0\Leftrightarrow t=0,75\text{ }s \.Vậy lúc t = 0,75 s thì gia tốc bằng 7. Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình \ \left\{ \begin{align}& x=10+50t \\& y=40t-5{{t}^{2}} \\\end{align} \right.\begin{matrix}{} & SI \\\end{matrix} \a Nhận dạng quỹ Xác định tung độ lớn nhất mà vật đạt Xác định các thành phần và độ lớn của vectơ vectơ, gia tốc tại thời điểm t = 2s. Tính gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến và bán kính chính khúc của quỹ đạo lúc dẫn giảia Ta có \ x=10+50t\Rightarrow t=\frac{x-10}{50} \, với \ x\ge 10\text{ }m \. \ \Rightarrow y=\frac{4}{5}\left x-10 \right-5{{\left \frac{x-10}{50} \right}^{2}}=-\frac{1}{500}{{x}^{2}}+\frac{21}{25}x-\frac{41}{5}\text{ }m \Vậy quỹ đạo là Parabol \ y=-\frac{1}{500}{{x}^{2}}+\frac{21}{25}x-\frac{41}{5}\text{ }m \, với \ x\ge 10\text{ }m \.b Tung độ lớn nhất \ {{y}_{\max }}\Leftrightarrow {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=y’=40-10t=0 \ \ \Leftrightarrow t=4\text{ }s\Rightarrow {{y}_{\max }}= }m \c+ Các thành phần của vectơ vận tốc lúc t = 2 s \ {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=50\text{ }m/s \ \ {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=40-10t= }m/s \Độ lớn của vectơ vận tốc \ v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{{{50}^{2}}+{{20}^{2}}}=10\sqrt{29}\text{ }m/s \+ Các thành của vectơ gia tốc lúc t = 2 s \ {{a}_{x}}=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=0\text{ }m/{{s}^{2}} \ \ {{a}_{y}}=\frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}=-10\text{ }m/{{s}^{2}} \Độ lớn của vectơ gia tốc \ a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\sqrt{{{0}^{2}}+{{\left -10 \right}^{2}}}=10\text{ }m/{{s}^{2}} \+ Gia tốc tiếp tuyến lúc t = 2 s \ {{a}_{t}}=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} \right={{\left \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} \right}^{/}} \\ ={{\left \sqrt{{{50}^{2}}+{{\left 40-10t \right}^{2}}} \right}^{/}}=\frac{-10\left 40-10t \right}{\sqrt{{{50}^{2}}+{{\left 40-10t \right}^{2}}}} \\ =\frac{-10\left \right}{\sqrt{{{50}^{2}}+{{\left \right}^{2}}}}=\frac{-20\sqrt{29}}{29}\approx -3,7\text{ }m/{{s}^{2}} \Dấu trừ “-” chứng tỏ lúc t = 2s, vật chuyển động chậm dần+ Gia tốc pháp tuyến lúc t = 2 s \ {{a}_{n}}=\sqrt{{{a}^{2}}-a_{t}^{2}}=\sqrt{{{10}^{2}}-3,{{7}^{2}}}=9,3\text{ }m/{{s}^{2}} \+ Bán kính chính khúc của quỹ đạo lúc t = 2 s \ R=\frac{{{v}^{2}}}{{{a}_{n}}}=\frac{53,{{8}^{2}}}{9,3}=311\text{ }m \ Tải về bản PDF Tải về bản PDF Vận tốc được định nghĩa là tốc độ của một vật theo một hướng xác định.[1] Trong nhiều trường hợp, để tìm vận tốc chúng ta sẽ dùng phương trình v = s/t, trong đó v là vận tốc, s là tổng quãng đường dịch chuyển của vật từ vị trí ban đầu, và t là thời gian để vật đi hết quãng đường đó. Tuy nhiên, về lý thuyết công thức này chỉ cho vận tốc trung bình của vật trên quãng đường. Bằng các phép tính chúng ta có thể tính được vận tốc của vật tại thời điểm bất kì trên quãng đường. Đó là vận tốc tức thời và được định nghĩa bởi phương trình v = ds/dt, hoặc nói cách khác, đó là đạo hàm của phương trình tính vận tốc trung bình.[2] 1 Bắt đầu với phương trình tính vận tốc theo khoảng cách dịch chuyển. Để tìm vận tốc tức thời, trước tiên chúng ta phải có phương trình cho biết vị trí của vật theo khoảng cách dịch chuyển tại một thời điểm bất kì. Nghĩa là phương trình phải có duy nhất một biến s ở một vế và biến t ở vế còn lại không nhất thiết chỉ có duy nhất một biến, giống như saus = + 10t + 4 Trong phương trình này, các biến số là s = khoảng cách dịch chuyển. Khoảng cách vật chuyển động từ vị trí ban đầu. Ví dụ, nếu một vật đi được 10 mét về phía trước và 7 mét về phía sau, tổng khoảng cách dịch chuyển của nó là 10 - 7 = 3 mét không phải 10 + 7 = 17m. t = thời gian. Biến này đơn giản không cần giải thích, thường được tính bằng giây. 2 Lấy đạo hàm của phương trình. Đạo hàm của phương trình là một phương trình khác cho biết độ dốc của quãng đường tại thời điểm cụ thể. Để tìm đạo hàm của phương trình theo khoảng cách dịch chuyển, lấy vi phân của hàm số theo nguyên tắc chung sau để tính đạo hàm Nếu y = a*xn, Đạo hàm = a*n*xn-1. Nguyên tắc này áp dụng cho mọi số hạng ở phía "t" của phương trình. Nói một cách khác, bắt đầu lấy vi phân từ trái qua phải ở phía "t" của phương trình. Mỗi khi gặp biến "t", bạn trừ số mũ cho 1 và nhân toàn số hạng cho số mũ ban đầu. Bất kì số hạng hằng số nào các số hạng không có "t" sẽ biến mất vì chúng được nhân cho 0. Quá trình này thật ra không khó như bạn nghĩ - hãy lấy phương trình trong bước trên làm ví dụs = + 10t + 42 + 110t1 - 1 + 04t0-3t1 + 10t0-3t + 10 3 Thay "s" bằng "ds/dt". Để thể hiện phương trình mới là đạo hàm của phương bình ban đầu, chúng ta thay "s" bằng ký hiệu "ds/dt". Về lý thuyết, ký hiệu này là "đạo hàm của s theo t". Một cách đơn giản hơn để hiểu ký hiệu này, ds/dt chính là độ dốc của một điểm bất kì trong phương trình ban đầu. Ví dụ, để tìm độ dốc của quãng đường được mô tả bởi phương trình s = + 10t + 4 tại thời điểm t = 5, chúng ta thay "5" vào t trong đạo hàm của phương trình. Trong ví dụ trên, đạo hàm của phương trình sẽ như sauds/dt = -3t + 10 4 Thay một giá trị t vào phương trình mới để tìm vận tốc tức thời. Bây giờ chúng ta đã có phương trình đạo hàm, việc tìm vận tốc tức thời tại một thời điểm bất kì rất dễ. Tất cả những gì bạn cần làm là chọn một giá trị t và thay vào phương trình đạo hàm. Ví dụ, nếu muốn tìm vận tốc tức thời tại t = 5, chúng ta chỉ cần thay "5" vào t trong phương trình đạo hàm ds/dt = -3t + 10. Chúng ta sẽ giải phương trình như sauds/dt = -3t + 10ds/dt = -35 + 10ds/dt = -15 + 10 = -5 mét/giây Lưu ý là chúng ta sử dụng đơn vị "mét/giây" nói trên. Vì chúng ta đang giải bài toán với khoảng cách dịch chuyển theo mét và thời gian theo giây, mà vận tốc chính là khoảng cách dịch chuyển theo thời gian nên đơn vị này là phù hợp. Quảng cáo 1 Vẽ đồ thị quãng đường chuyển động của vật theo thời gian. Trong phần trên, chúng ta nói rằng đạo hàm cũng là một công thức mà cho chúng ta tìm độ dốc tại bất kì điểm nào của phương trình được lấy đạo hàm. Thật ra, nếu bạn biểu diễn quãng đường chuyển động của vật trên đồ thị, độ dốc của đồ thị tại một điểm bất kì chính là vận tốc tức thời của vật tại điểm đó. Để vẽ đồ thị quãng đường chuyển động, bạn sử dụng trục x làm thời gian và trục y làm khoảng cách dịch chuyển. Sau đó bạn xác định một số điểm bằng cách thay các giá trị của t vào phương trình chuyển động, kết quả nhận được là các giá trị s, và bạn chấm các điểm t,s x,y trên đồ thị. Lưu ý là đồ thị có thể mở rộng xuống dưới trục x. Nếu đường biểu diễn chuyển động của vật đi xuống dưới trục x, điều này có nghĩa vật đó di chuyển thụt lùi so với vị trí ban đầu. Nói chung, đồ thị sẽ không mở rộng về phía sau trục y - chúng ta thường không đo vận tốc của vật thể di chuyển lùi theo thời gian! 2 Chọn một điểm P và một điểm Q nằm gần điểm P trên đồ thị. Để tìm độ dốc của đồ thị tại điểm P, chúng ta sử dụng kỹ thuật "tìm giới hạn". Tìm giới hạn nghĩa là lấy hai điểm P và Q một điểm nằm gần P trên đường cong và tìm độ dốc của đường nối hai điểm đó, lặp đi lặp lại quá trình này khi khoảng cách giữa P và Q thu ngắn dần. Giả sử quãng đường dịch chuyển có các điểm 1;3 và 4;7. Trong trường hợp này, nếu chúng ta muốn tìm độ dốc tại 1;3 thì có thể đặt 1;3 = P và 4;7 = Q. 3 Tìm độ dốc giữa P và Q. Độ dốc giữa P và Q là độ chênh lệch của các giá trị y cho P và Q trên độ chênh lệch của các giá trị x cho P và Q. Nói một cách khác, H = yQ - yP/xQ - xP, trong đó H là độ dốc giữa hai điểm. Trong ví dụ này, độ dốc giữa P và Q làH = yQ - yP/xQ - xPH = 7 - 3/4 - 1H = 4/3 = 1,33 4 Lặp lại nhiều lần bằng cách di chuyển Q đến gần P hơn. Mục tiêu là làm cho khoảng cách giữa P và Q nhỏ dần đến khi chúng tiến sát thành một điểm duy nhất. Khoảng cách giữa P và Q càng nhỏ thì độ dốc của đoạn thẳng vô cùng nhỏ đó sẽ càng tiến gần đến độ dốc tại điểm P. Lặp lại vài lần cho phương trình ví dụ của chúng ta, sử dụng các điểm 2;4,8, 1,5;3,95 và 1,25;3,49 cho Q và tọa độ ban đầu của P là 1;3Q = 2;4,8 H = 4,8 - 3/2 - 1H = 1,8/1 = 1,8Q = 1,5;3,95 H = 3,95 - 3/1,5 - 1H = 0,95/0,5 = 1,9Q = 1,25;3,49 H = 3,49 - 3/1,25 - 1H = 0,49/0,25 = 1,96 5 Ước lượng độ dốc của đoạn thẳng vô cùng nhỏ trên đường cong đồ thị. Khi Q tiến ngày càng gần hơn đến P, H sẽ dần dần tiến gần hơn đến độ dốc tại P. Cuối cùng, tại một đoạn thẳng vô cùng nhỏ, H sẽ là độ dốc tại P. Vì chúng ta không thể đo hay tính chiều dài một đoạn thẳng vô cùng nhỏ, nên chỉ ước lượng độ dốc tại P khi giá trị đó lộ ra rõ từ những điểm chúng ta tính. Trong ví dụ trên, khi dịch chuyển H tiến gần hơn đến P, chúng ta có các giá trị của H là 1,8; 1,9 và 1,96. Vì những số này đang tiến gần đến 2 nên chúng ta có thể nói 2 là giá trị gần đúng của độ dốc tại P. Nhớ rằng độ dốc tại một điểm bất kì trên đồ thị là đạo hàm của phương trình đồ thị tại điểm đó. Vì đồ thị biểu diễn khoảng cách dịch chuyển của vật theo thời gian, như chúng ta thấy trong phần trên, nên vận tốc tức thời của nó tại một điểm bất kì chính là đạo hàm của khoảng cách dịch chuyển của vật đó tại điểm đề cập, chúng ta có thể nói 2 mét/giây là giá trị ước lượng gần đúng của vận tốc tức thời khi t = 1. Quảng cáo 1 Tìm vận tốc tức thời khi t = 1 với phương trình quãng đường dịch chuyển là s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9. Giống ví dụ trong phần đầu nhưng đây là phương trình bậc 3 thay vì bậc 2, vì vậy chúng ta có thể giải bài toán theo cách tương tự. Đầu tiên, lấy đạo hàm của phương trìnhs = 5t3 - 3t2 + 2t + 9s = 35t3 - 1 - 23t2 - 1 + 12t1 - 1 + 09t0 - 115t2 - 6t1 + 2t015t2 - 6t + 2 Sau đó chúng ta thay giá trị của t 4 vàos = 15t2 - 6t + 21542 - 64 + 21516 - 64 + 2240 - 24 + 2 = 22 mét/giây 2 Sử dụng phương pháp ước lượng bằng đồ thị để tìm vận tốc tức thời tại 1;3 cho phương trình quãng đường dịch chuyển s = 4t2 - t. Đối với bài toán này, chúng ta dùng tọa độ 1;3 làm điểm P, nhưng phải tìm các điểm Q khác nằm gần nó. Sau đó, tất cả những gì chúng ta cần làm là tìm các giá trị H và suy ra giá trị ước lượng. Đầu tiên, chúng ta tìm các điểm Q khi t = 2; 1,5; 1,1 và 1, = 4t2 - tt = 2 s = 422 - 244 - 2 = 16 - 2 = 14, do đó Q = 2;14t = 1,5 s = 41,52 - 1,542,25 – 1,5 = 9 – 1,5 = 7,5, do đó Q = 1,5;7,5t = 1,1 s = 41,12 - 1,141,21 – 1,1 = 4,84 – 1,1 = 3,74, do đó Q = 1,1;3,74t = 1,01 s = 41,012 - 1,0141,0201 – 1,01 = 4,0804 – 1,01 = 3,0704, do đó Q = 1,01;3,0704 Tiếp theo chúng ta sẽ nhận được các giá trị HQ = 2;14 H = 14 - 3/2 - 1H = 11/1 = 11Q = 1,5;7,5 H = 7,5 - 3/1,5 - 1H = 4,5/0,5 = 9Q = 1,1;3,74 H = 3,74 - 3/1,1 - 1H = 0,74/0,1 = 7,3Q = 1,01;3,0704 H = 3,0704 - 3/1,01 - 1H = 0,0704/0,01 = 7,04 Vì các giá trị H dường như tiến gần đến 7, chúng ta có thể nói rằng 7 mét/giây là giá trị ước lượng gần đúng của vận tốc tức thời tại tọa độ 1;3. Quảng cáo Lời khuyên Để tìm gia tốc sự thay đổi vận tốc theo thời gian, sử dụng phương pháp trong phần một để lấy đạo hàm của phương trình quãng đường dịch chuyển. Sau đó lấy đạo hàm một lần nữa cho phương trình đạo hàm vừa tìm được. Kết quả là bạn có phương trình tìm gia tốc tại một thời điểm xác định - tất cả những gì bạn phải làm là thay giá trị thời gian vào. Phương trình thể hiện mối tương quan giữa Y khoảng cách dịch chuyển với X thời gian có thể rất đơn giản, như Y = 6x + 3. Trong trường hợp này, độ dốc là hằng số và không cần thiết phải lấy đạo hàm để tính độ dốc, nghĩa là nó tuân theo dạng phương trình cơ bản Y = mx + b cho đồ thị đường thẳng tuyến tính, tức độ dốc bằng 6. Quãng đường dịch chuyển cũng giống khoảng cách nhưng có hướng, do đó nó là một đại lượng vectơ, và tốc độ là đại lượng vô hướng. Quãng đường dịch chuyển có thể mang giá trị âm, trong khi khoảng cách chỉ mang giá trị dương. Tham khảo Về bài wikiHow này Trang này đã được đọc lần. Bài viết này đã giúp ích cho bạn? Với bài toán chuyển động giả sử vận tốc tức thời của vật là $v\left t \right$ thì $v\left t \right=s'\left t \right$ Gia tốc tức thời của vật $a\left t \right=v'\left t \right=s''\left t \right$ Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm ${{t}_{1}}$ đến ${{t}_{2}}$ là $S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{v\left t \rightdt.}$ Vận tốc tức thời của vật $v\left t \right=\int{a\left t \rightdt}$ Ví dụ 1 Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left t \right=-4t+20$ m/s trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 25 m. B. 50 m. C. 10 m. D. 30 m. Lời giải Khi vật dừng hẳn thì $v=0\Rightarrow -4t+20=0\Leftrightarrow t=5\left s \right.$ Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là $S\left t \right=\int\limits_{0}^{5}{v\left t \rightdt=\int\limits_{0}^{5}{\left -4t+20 \rightdt=50}}$m. Chọn A. Ví dụ 2 Một ô tô xuất phát với vận tốc ${{v}_{1}}\left t \right=2t+12\,\,\left m/s \right,$ sau khi đi được khoảng thời gian ${{t}_{1}}$ thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc ${{v}_{2}}\left t \right=24-6t\left m/s \right,$ và đi thêm một khoảng thời gian ${{t}_{2}}$ nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét ? A. $12\text{ }m.$ B. $156\text{ }m.$ C. $108\text{ }m.$ D. $48\text{ }m.$ Lời giải Ta có ${{v}_{02}}=24\,\,\left m/s \right$ do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là $24\,\,m/s$ Khi đó ${{v}_{1}}\left t \right=2t+12=24\Leftrightarrow t=6\,\,\left s \right$ Vật dừng lại khi ${{v}_{2}}\left t \right=24-6t=0\Leftrightarrow {{t}_{2}}=4\,\,\left s \right$ Quãng đường vật đi được là $s=\int\limits_{0}^{6}{{{v}_{1}}\left t \rightdt}+\int\limits_{0}^{4}{{{v}_{2}}\left t \rightdt=\int\limits_{0}^{6}{\left 2t+12 \rightdt}+\int\limits_{0}^{4}{\left 24-6t \rightdt}}=156\text{ }m.$ Chọn B. Ví dụ 3 Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc ${{v}_{0}}=16\,\,\left m/s \right$ thì tăng tốc với gia tốc $a\left t \right={{t}^{2}}+3t\,\,\left m/{{s}^{2}} \right.$ Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian $4s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. $\frac{160}{3}\,\,\left m \right.$ B. $\frac{352}{3}\,\,\left m \right.$ C. $\frac{400}{3}\,\,\left m \right.$ D. $\frac{250}{3}\,\,\left m \right.$ Lời giải Ta có $v\left t \right=\int{a\left t \rightdt=\int{\left {{t}^{2}}+3t \rightdt=\frac{{{t}^{3}}}{3}}+\frac{3{{t}^{2}}}{2}}+C$Có thể bạn quan tâmIPL 2023 cấm người chơi là ai?Thời tiết ở Đê-li trong Tháng hai 2023 là gì?Ngày của Mẹ 2023 Argentina26 3 âm là bao nhiêu dương 2022Tuyên bố cho ngày 24 tháng 2 năm 2023 là gì? Khi đó ${{v}_{0}}=v\left 0 \right=C=16\Rightarrow v\left t \right=\frac{{{t}^{3}}}{3}+\frac{3{{t}^{2}}}{2}+16$ Khi đó quãng đường đi được bằng $s\left t \right=\int\limits_{0}^{4}{v\left t \rightdt=\int\limits_{0}^{4}{\left \frac{{{t}^{3}}}{3}+\frac{3{{t}^{2}}}{2}+16 \rightdt}}$ $\left. \left \frac{{{t}^{4}}}{12}+\frac{{{t}^{3}}}{2}+16t \right \right_{0}^{4}=\frac{352}{3}\,\,\left m \right.$ Chọn B. Ví dụ 4 Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${{v}_{1}}\left t \right=2t\,\,\left m/s \right.$ Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-12\,\,\left m/{{s}^{2}} \right.$ Tính quãng đường $s\left m \right$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn A. $s=168\,\,m.$ B. $s=166\,\,m.$ C. $s=144\,\,m.$ D. $s=152\,\,m.$ Lời giải Quãng đường xe đi được trong 12 s đầu là ${{s}_{1}}=\int\limits_{0}^{12}{2tdt=144\text{ }m.}$ Sau khi đi được 12 s vật đạt vận tốc $v=24\,\,m/s,$ sau đó vận tốc của vật có phương trình $v=24-12t$ Vật dừng hẳn sau $2\text{ }s$ kể từ khi phanh. Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là ${{s}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left 24-12t \rightdt=24\text{ }m.}$ Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}=144+24=168\text{ }m.$ Chọn A. Ví dụ 5 Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang chiều dương hướng sang phải với gia tốc phụ thuộc thời gian $t\left s \right$ là $a\left t \right=2t-7\,\left m/{{s}^{2}} \right.$ Biết vận tốc ban đầu bằng $10\,\,\left m/s \right,$ hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải? A. $5\,\,\left s \right.$ B. $6\,\,\left s \right.$ C. $1\,\,\left s \right.$ D. $2\,\,\left s \right.$ Lời giải Vận tốc của vật được tính theo công thức $v\left t \right=10+{{t}^{2}}-7t\,\,\left m/s \right.$ Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức $S\left t \right=\int{v\left t \rightdt=\frac{{{t}^{3}}}{3}-\frac{7}{2}{{t}^{2}}+10t\,\,\left m \right.}$ Ta có ${S}'\left t \right={{t}^{2}}-7t+10\Rightarrow {S}'\left t \right=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-7t+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=2 \\ & t=5 \\ \end{align} \right..$ Suy ra $\left\{ \begin{align} & S\left 0 \right=0 \\ & S\left 2 \right=\frac{26}{6} \\ & S\left 5 \right=\frac{25}{6} \\ & S\left 6 \right=6 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 0;6 \right]}{\mathop{Max}}\,S\left t \right=S\left 2 \right=\frac{26}{3}.$ Chọn D. Ví dụ 6 [Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh 2017] Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 mét so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật $v\left t \right=10t-{{t}^{2}},$ trong đó $t$ phút là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, $v\left t \right$ được tính theo đơn vị mét/phút m/p. Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc $v$ của khí cầu là A. $v=7\,\,\left m/p \right.$ B. $v=9\,\,\left m/p \right.$ C. $v=5\,\,\left m/p \right.$ D. $v=3\,\,\left m/p \right.$ Lời giải Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường là $s=162\,\,m$ Ta có $S=\int\limits_{0}^{{{t}_{0}}}{\left 10t-{{t}^{2}} \rightdt=\left. \left 5t-\frac{{{t}^{3}}}{3} \right \right_{0}^{{{t}_{0}}}=5t_{0}^{2}-\frac{t_{0}^{3}}{3}}$ trong đó ${{t}_{0}}$ là thời điểm vật tiếp đất Cho $5t_{0}^{2}-\frac{t_{0}^{3}}{3}=162\Rightarrow {{t}_{0}}=9$ Do $v\left t \right=10t-{{t}^{2}}\Rightarrow 0\le t\le 10$ Khi đó vận tốc của vật là $v\left 9 \right= }\left m/p \right.$ Chọn B. Ví dụ 7 [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left t \right=\frac{1}{100}{{t}^{2}}+\frac{13}{30}t\,\,\left m/s \right,$ trong đó $t$ giây là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn 10 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\,\,\left m/{{s}^{2}} \right$ $a$ là hằng số. Sau khi $B$ xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp $A.$ Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng A. $25\,\,\left m/s \right.$ B. $15\,\,\left m/s \right.$ C. $9\,\,\left m/s \right.$ D. $42\,\,\left m/s \right.$ Lời giải Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là $S=\int\limits_{0}^{25}{\left \frac{1}{100}{{t}^{2}}+\frac{13}{30}t \rightdt=\frac{375}{2}\,\,m.}$ Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm $t\left s \right$ tính từ lúc B xuất phát là ${{v}_{B}}\left t \right=at.$ Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là \[S=\int\limits_{0}^{10}{atdt}=\left. \frac{a{{t}^{2}}}{2} \right_{0}^{10}=\frac{225}{2}a\left m \right.\] Suy ra $\frac{225}{2}a=\frac{375}{2}\Leftrightarrow a=\frac{5}{3}$ Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là ${{v}_{B}}\left 15 \right=15a=25\,\,\left m/s \right.$ Chọn A. Ví dụ 8 [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left t \right=\frac{1}{180}{{t}^{2}}+\frac{11}{18}t$ m/s, trong đó $t$ giây là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng cùng hướng với $A$, nhưng chậm hơn 5 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\left m/{{s}^{2}} \right$ $a$ là hằng số. Sau khi $B$ xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp $A.$ Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng A. $22$m/s. B. 15 m/s. C. 10 m/s. D. 7 m/s. Lời giải Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là $S=\int\limits_{0}^{15}{\left \frac{1}{180}{{t}^{2}}+\frac{11}{8}t \rightdt=75\,\,m.}$ Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm $t\left s \right$ tính từ lúc B xuất phát là ${{v}_{B}}\left t \right=at.$ Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là \[S=\int\limits_{0}^{10}{atdt}=\left. \frac{a{{t}^{2}}}{2} \right_{0}^{10}=50a\,\,\left m \right.\] Suy ra $50a=75\Leftrightarrow a=1,5$ Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là ${{v}_{B}}\left 10 \right=10a=15\,\,\left m/s \right.$ Chọn B. Ví dụ 9 Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc $v\left km/h \right$ phụ thuộc thời gian $t\left h \right$ có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $I\left 2;9 \right$ với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó? A. $s=27\,\,\left km \right.$ B. $s=24\,\,\left km \right.$ C. $s=28,5\,\,\left km \right.$ D. $s=26,5\,\,\left km \right.$ Lời giải Dựa vào đồ thị ta tính được phương trình vận tốc của vật Từ 0 đến 3 giây ${{v}_{1}}\left t \right=-\frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t\,\,\left km/h \right.$ Từ 3 giây trở đi ${{v}_{2}}\left t \right=\frac{27}{4}\,\,\left km/h \right.$ Suy ra quãng đường vật đi được trong 4 giây sẽ bằng $s=\int\limits_{0}^{3}{\left -\frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t \rightdt}+\int\limits_{3}^{4}{\frac{27}{4}dt=27\,\,\left km \right.}$ Chọn A. Ví dụ 10 [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc $v\left km/h \right$ phụ thuộc thời gian $t\left h \right$ có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh $I\left \frac{1}{2};8 \right$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường $s$ người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. A. $s=4,0\,\,\left km \right.$ B. $s=2,3\,\,\left km \right.$ C. $s=4,5\,\,\left km \right.$ D. $s=5,3\,\,\left km \right.$ Lời giải Dựa vào đồ thị ta tính được PT vận tốc là $v\left t \right=a{{\left x-\frac{1}{2} \right}^{2}}+8$ Do parabol $\left P \right$ qua điểm $\left 1;0 \right\Rightarrow a=-32\Rightarrow v\left t \right=-32{{t}^{2}}+32t\,\,\left km/h \right.$ Suy ra quãng đường đi được trong 45 phút bằng $0,75\,\,\left h \right$ là $S=\int\limits_{0}^{0,75}{\left -32{{t}^{2}}+32t \rightdt=4,5\,\,\left km \right.}$ Chọn C.

đạo hàm của quãng đường